KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

20. lecke: Váltakozóáramú hálózatok. Periodikus időfüggvény matematikai jellemzése. A periódusidő. Fourier tétele. Szinuszos feszültség- illetve áram-időfüggvény jellemzése az időtartományban. Frekvencia és körfrekvencia

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| saját szavaival meghatározni a periódusidő, a frekvencia és a körfrekvencia fogalmát; saját szavaival megfogalmazni Fourier tételét; saját szavaival meghatározni az egyenkomponens, az alapharmonikus és a felharmonikus fogalmát; értelmezni váltakozó áramú hálózat linearitásának fogalmát.
| Tananyag
| Periodikus időfüggvény matematikai jellemzése
| Az általános időfüggvények két csoportba sorolhatók, a véletlenszerű vagy sztochasztikus és a determinisztikus időfüggvények csoportjába. A determinisztikus időfüggvények lehetnek nem periodikusak vagy periodikusak. A periodikus időfüggvény eleget tesz a következő egyenletnek:
| f(t)=f(t+T) −∞<t<+∞
| Szavakkal: bármely t időpontban választott függvényérték megegyezik a T idővel későbbi (vagy korábbi) függvényértékkel. Másképp megfogalmazva ez azt is jelenti, hogy ha egy T szélességű "ablakon" keresztül vizsgáljuk a függvényünket, akkor pontosan ugyanazt látjuk, mintha az ablakot T-vel egyszer vagy többször, balra vagy jobbra eltoljuk. Egy megtalált T érték mellett annak kétszerese, háromszorosa, négyszerese stb. is természetesen kielégíti a feltételül szabott egyenletet. Nekünk a legkisebb T értékre van szükségünk.

|  | Definíció: T a függvény periódusideje, ha nem létezik annál kisebb 0< T 0 <T érték, amely a feltételi egyenletet szintén kielégíti. Megjegyzés:Itt fizikai mennyiségeknek az idő [−∞,+∞] teljes intervallumán értelmezett folytonos, egyértékű függvényeivel foglalkozunk. Vegyük észre, hogy semmi más kikötést nem teszünk a vizsgált függvényre, mint azt, hogy T periódusidőnként ismétlődjön. A periódusidő a periodikus függvény egyetlen jellemzője.

|  | A periódusidő reciproka a frekvencia.
f= 1 T
| A frekvencia a másodpercenkénti periódusok száma. A frekvencia mértékegysége a hertz, jele: Hz.
| 1 H z= 1 s
| 1 Hz a periodikus függvény frekvenciája, ha egy másodperc alatt egyetlen periódus zajlik le. A gyakorlatban általában lényegesen nagyobb frekvenciájú jelenségekkel találkozunk. Szokásos mértékegységek: Hz, kHz, MHz, GHz (GHz: ejtsd "gigahertz").
| 1 G H z= 10 9 H z
| Szinuszos időfüggvény matematikai jellemzése
| A periodikus időfüggvények egy speciális esete a szinuszos vagy harmonikus időfüggvény:
| u(t)= U ^ ⋅sin⁡(ω⋅t+ϕ)
| Ahol t a független változó, az idő, u a függő változó, most éppen a feszültség, továbbá U ^ a csúcsérték vagy amplitúdó, ω a körfrekvencia vagy szögsebesség és ϕ a fáziseltolás vagy kezdőfázis.
| A körfrekvencia az egy másodperc alatti szögelfordulást adja meg radiánban. A szögelfordulás lehet tényleges és lehet, mint esetünkben is, elképzelt.
ω=2⋅π⋅f= 2⋅π T
| [ω]= r a d s = 1 s
| A körfrekvencia mértékegységében szereplő radián egy puszta viszonyszám. A mértékegységek közötti műveletek során elhagyható, de a körfrekvencia mértékegységében szerepeltetni kell. Az amplitúdó az a szélső érték, amelyet pozitív és negatív előjellel a függvény még éppen felvesz.
20.1. ábra
| Egy általános szinuszos feszültség-időfüggvényt láthatunk a 20.1. ábrán.
| Fourier tétele

|  | Tétel: Minden periodikus időfüggvény felbontható szinuszos összetevőkre.

|  | Az összetevők:
| egyenkomponens, alapharmonikus, felharmonikusok.
| Az egyenkomponens segítségével megadhatjuk, hogy a függvény az alaphelyzethez, vagy egy azzal azonos másik függvényhez képest függőleges irányban mennyire van eltolva. Az egyenkomponenst itt a koszinuszfüggvény végtelen periódusidejű határesetének tekinthetjük.
| Az alapharmonikus a periodikus időfüggvény periódusidejével kifejezve
| f= 1 T frekvenciájú szinuszos jel.
| Az alapharmonikus a felbontandó periodikus függvényhez igazodó kezdőfázissal és amplitúdóval, a periódusidőnyi szélességű ablakban egyetlen teljes periódust ír le.
| A felharmonikusok a periodikus függvénynek olyan, különböző amplitúdójú és kezdőfázisú (szinuszos) összetevői, amelyeknek frekvenciája rendre
Megjegyzés: "alharmonikus" nincs! A k=1 értékhez pedig az alapharmonikus tartozik. | f=k⋅ 1 T , ahol k=2, 3, 4, 5, 6...
| A váltakozóáramú hálózat linearitásáról
| Az egyenáramú hálózatok tárgyalása során megtudtuk, hogy lineáris hálózatban alkalmazható a szuperpozíció elve. A csak ohmos ellenállást tartalmazó váltakozóáramú hálózat természetesen szintén ugyanúgy lineárisnak tekinthető. De vajon érvényes-e a kondenzátorra, hogy rajta kétszer, háromszor négyszer nagyobb feszültség hatására kétszer, háromszor, négyszer nagyobb áram folyik?
| Ha az
| i(t)=C⋅ d u(t) d t
| differenciálegyenletbe a feszültség-időfüggvény konstansszorosát írjuk, akkor a differenciálás szabályai szerint a konstanst kiemelve az áram-időfüggvény konstansszorosát kapjuk.
| C⋅ d k o n s t⋅u(t) d t =k o n s t⋅C⋅ d u(t) d t =k o n s t⋅i(t)
| Tehát a kondenzátor - és ugyanilyen gondolatmenettel belátható, hogy a tekercs is - lineáris elem. Ebből következik, hogy a csak ohmos ellenállást, kondenzátort és tekercset tartalmazó váltakozóáramú hálózat lineáris hálózat, tehát alkalmazható és érvényes rá a szuperpozíció tétele. (Megjegyzés: a hálózat linearitása tetszőlegesen változó áramú hálózat esetén is igaz, de ez most számunkra kevésbé fontos.)
| Fourier tételének és a hálózat linearitásának következménye
| Egy tetszőleges, periodikus időfüggvényű feszültséggenerátor felfogható Fourier tételét figyelembe véve, szinuszos feszültséggenerátorok soros kapcsolásának. Egy tetszőleges, periodikus időfüggvényű áramgenerátor pedig hasonló megfontolások alapján felfogható szinuszos áramgenerátorok párhuzamos kapcsolásának. Ha a szuperpozíció elvét alkalmazzuk, akkor elegendő minden szinuszos generátorral külön-külön foglalkozni.
| Ez a gondolatmenet igen nagy elvi jelentőséggel bír. Nemcsak az általános periodikus időfüggvényű egyes gyakorlati esetek számítását befolyásolja, hanem meghatározó jelentőségű a váltakozóáramú hálózatok elméletét tárgyaló fejezet elvi felépítésében is. Végkövetkeztetésként ugyanis kijelentjük, hogy elegendő csak szinuszos áramú hálózatokkal foglalkoznunk, mindaddig, amíg R, L és C passzív elemeket használunk. Ez lényegesen egyszerűbb matematikai tárgyalást tesz majd lehetővé.
| Következzen tehát a megismert három elem és az ezekkel felépített hálózatok vizsgálata szinuszos feszültségű vagy áramú generátorok mellett.

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Mi a frekvencia?
| a frekvencia a periódusidő 2 π -szerese,
| a frekvencia az 1 másodperc alatti szögelfordulás radiánban,
| a frekvencia a másodpercenkénti periódusok száma,
| a frekvencia az időállandó reciproka,
| a frekvencia a nemperiodikus időfüggvények jellemzője.
| 2. Hogyan számítható a frekvencia a periódusidőből?
| f=T ,
| f= T 2⋅π ,
| f=2⋅π⋅T ,
| f= 2⋅π T ,
| f= 1 T .
| 3. Hogyan számítható a körfrekvencia a frekvenciából?
| ω=f ,
| ω= f 2⋅π ,
| ω=2⋅π⋅f ,
| ω= 2⋅π f ,
| ω= 1 f .
| 4. Hogyan számítható a periódusidő a frekvenciából?
| T=f ,
| T= f 2⋅π ,
| T=2⋅π⋅f ,
| T= 2⋅π f ,
| T= 1 f .
| 5. Fourier tétele szerint minden periodikus függvény felbontható a következőkre.
| alharmonikus és felharmonikus,
| egyenkomponens, alapharmonikus és felharmonikus,
| egyenkomponens, alapharmonikus és felharmonikusok,
| egyenkomponens és alharmonikusok,
| alapharmonikus és felharmonikusok,
| egyenkomponensek, alapharmonikusok és felharmonikusok.
| 6. Szinuszos időfüggvény teljes meghatározásához a következő adatok elegendők.
| amplitúdó, frekvencia és kezdőfázis,
| csúcsérték és körfrekvencia,
| csúcsérték, körfrekvencia és kezdőfázis,
| amplitúdó, csúcsérték és fázisszög,
| körfrekvencia, periódusidő és kezdőfázis,
| periódusidő, csúcsérték és kezdőfázis.
| 7. Melyik két jellemzővel teszünk különbséget szinuszos generátorral táplált kapcsolásban két időfüggvény között?
| csúcsérték és körfrekvencia,
| amplitúdó és kezdőfázis,
| amplitúdó és körfrekvencia,
| periódusidő és kezdőfázis,
| amplitúdó és frekvencia,
| frekvencia és kezdőfázis.