KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

27. lecke: Teljesítmény-időfüggvény és átlagteljesítmény ellenálláson. A hatásos teljesítmény

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| felírni a váltakozóáramú teljesítmény képletét; saját szavaival meghatározni az effektív érték fogalmát; saját szavaival meghatározni a hatásos teljesítmény fogalmát.
| Tananyag
| Váltakozóáramú teljesítmény
| Az egyenáramú hálózatokhoz hasonlóan, foglalkozzunk most is, a bennünket érdeklő kapcsolások feszültség- és áramállapotainak vizsgálata után, a teljesítményviszonyokkal. Az egyenáramú hálózatoknál ez egyszerű feladat volt, mert ott konstans értékeket kaptunk eredményül. Változó áram és feszültség esetén a szorzatuk, a teljesítmény is természetesen időben változó érték.
p(t)=u(t)⋅i(t)
| Előző vizsgálatainkból azt is tudjuk, hogy a szinuszos feszültség és az áram időfüggvény egymáshoz képest eltérő helyzetű aszerint, hogy milyen áramköri elemen jön létre. A teljesítményviszonyokat is célszerű külön vizsgálni ellenállásra, reaktanciákra és általános impedanciákra vonatkozóan. Az időfüggvény jellegét tekintve csak a periodikus időfüggvény esetén érdemes részletes vizsgálatot végezni. A nemperiodikus időfüggvény vagy véges időtartamú és véges energiájú, tranziens, vagy időben nem korlátozott, és így összességében végtelen energiájú.
| Váltakozóáramú teljesítmény ellenálláson
| Kapcsoljunk egy ellenállást szinuszos feszültségre.
| u(t)= U ^ ⋅sin⁡ω⋅t
| Az ellenállás árama:
| i(t)= u(t) R = U ^ ⋅sin⁡ω⋅t R = U ^ R ⋅sin⁡ω⋅t= I ^ ⋅sin⁡ω⋅t
| Az ellenállás teljesítménye:
| p(t)=u(t)⋅i(t)= U ^ ⋅sin⁡(ω⋅t)⋅ I ^ ⋅sin⁡(ω⋅t)= U ^ ⋅ I ^ ⋅ (sin⁡ω⋅t) 2
| A szinusznégyzet-függvényt ismert trigonometriai átalakítással tovább írhatjuk:
| p(t)= U ^ ⋅ I ^ ⋅ (sin⁡ω⋅t) 2 = U ^ ⋅ I ^ ⋅ 1−cos⁡2⋅ω⋅t 2
27.1. ábra
| Ezt a teljesítmény-időfüggvényt ábrázolja a 27.1. ábra. Az időfüggvény a vízszintes tengelyt felülről érinti, minden pillanatértéke nemnegatív, vagyis nulla vagy pozitív érték. Kétszeres frekvenciájú, az U ^ ⋅ I ^ ⋅ 1 2 amplitúdóértékkel fölfelé eltolt, a jelen ábrázolásban mínusz koszinuszos függvény. A változó teljesítményértéket bármelyik pillanatban leolvashatjuk. Ennél azonban sokkal nagyobb jelentősége van annak, hogy milyen közepes, átlagos teljesítményre számíthatunk hosszabb idő után.
| A villamos energiaellátás hazánkban 50 Hz frekvenciájú szinuszos feszültséggel valósul meg.
| f=50 H z
| T= 1 f = 1 50 H z =20 m s
| A periódusidő rövid az emberi cselekvésekhez képest, ezért a mindennapi életben a teljesítmény-időfüggvény helyett valamely elem teljesítményállapotát az egy periódusra vett átlagértékkel jellemezzük. Ezt a felírt függvénynek egy periódusra vett integráljával számítjuk. (Tekintettel arra, hogy a teljesítmény-időfüggvény dupla frekvenciájú, a fél periódusra végzett integrálás is ugyanazt az eredményt adná.) Az átlagteljesítmény jelölésére vezessük be: P.
| P= 1 T ∫ T p(t)dt = 1 T ∫ T U ^ ⋅ I ^ ⋅ (sin⁡ω⋅t) 2 dt = U ^ ⋅ I ^ 2
| Az integrálás eredménye, az átlagteljesítmény a feszültség- és az áramamplitúdó szorzatának a fele, ahogyan az időfüggvények ábrájából is sejthető. A vonalkázott területek leforgatva éppen kiegészítik téglalappá a görbe alatti felületet. A kettes osztót pedig megoszthatjuk a két amplitúdó között.
| P= U ^ ⋅ I ^ 2 = U ^ 2 ⋅ I ^ 2
| Effektív érték
| Az így kapott két értéket effektív értéknek nevezzük. Az effektív értéket a teljesítményszámításnál használjuk. Az effektív érték szinuszos időfüggvények esetén a csúcsérték osztva 2 -vel.
U eff =U= U ^ 2 I eff =I= I ^ 2
| Az effektív érték a leggyakrabban használt érték, ezért jelölését elhagyhatjuk. Szinuszos áramú hálózatokban az alsó index nélküli feszültség vagy áram jel az effektív értéket jelenti, és csak akkor használunk jelölést, ha a csúcsértékre vagy más középértékre akarunk utalni. A szinuszos feszültségre való hivatkozáskor is az effektív értéket adjuk meg. Például az energiaellátó hálózat hagyományosan 220 voltosnak mondott, vagy a napjainkban szabványos 230 voltos értéke is effektív érték. Az ezekhez tartozó csúcsértékek számíthatók.
| 220⋅ 2 V≅310V 220⋅ 2 V≅310V
| A villamos mérőműszereket is effektív értékre szokás skálázni. Az effektív érték tulajdonképpen egy középérték, mégpedig négyzetes középérték. Kiszámítása általános periodikus időfüggvény esetén integrálással lehetséges.
U eff = 1 T ∫ T [u(t)] 2 dt
| A számítás során rövid, dt időtartamra állandónak tekintjük a pillanatérték négyzetét és egy kicsiny dt szélességű, [u(t)] 2 magasságú téglalap területét képezzük. Az integrálás ezen keskeny téglalapoknak az összegzése egy teljes periódusidőre. Az integrálás eredményét úgy tekintjük, mint egy periódusidő szélességű, átlagos feszültségnégyzet magasságú téglalap területét. A télalap magasságát periódusidővel való osztás révén kapjuk meg. A négyzetes középérték a téglalap magasságából vont négyzetgyök. (Megjegyzés: nyelvünk szépen érzékelteti, hogy egy középérték "közepes", azaz a csúcsértéknél nem nagyobb. A középértékek, és így az effektív értékek is általában csúcsértéknél kisebbek, nulla és csúcsérték közé esnek. Kivétel az időtengelyre szimmetrikusan azonos értéket felvevő négyszögjel, melynek effektív értéke megegyezik a csúcsértékkel, nem kisebb annál.)
| Hatásos teljesítmény
| A vizsgálatainkban szereplő szinuszos feszültség az ellenálláson munkát végez. Az egy periódus alatt elvégzett munkát integrálással számíthatjuk.
| W T = ∫ T p(t)dt =P⋅T
| A teljesítmény-pillanatértéket rövid időre állandónak tekintjük, és képezzük egy elemi, keskeny p(t)⋅dt téglalapnak a területét. A terület egy elemi munkarész. Az integrálás az elemi, keskeny téglalapok területének összegét, a göbe alatti területet eredményezi. Ez éppen az a mód, ahogyan korábban ellenállásunkon az átlagteljesítményt is számítottuk. Ezért az integrálás helyett az átlagteljesítményt felhasználva is kifejezhetjük az egy periódus alatt elvégzett munkát a P⋅T szorzattal.
Megjegyzés: a hatásos teljesítmény nem tévesztendő össze a "hasznos"-sal. | Az ellenálláson a villamos teljesítmény elfogyasztásra kerül. Átalakul más (mechanikai, hő, fény, kémiai, stb.) teljesítménytípussá. Azt a váltakozóáramú teljesítményt, amely más teljesítménytípussá átalakul, hatásos teljesítménynek nevezzük.

|  | Tétel: Ellenálláson mindig hatásos teljesítmény jön létre.
| Tétel: Hatásos teljesítmény csak ellenálláson jön létre.

|  | A hatásos teljesítmény jele: P.
| Mértékegység jele: W, neve: watt.

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Milyen a teljesítmény-időfüggvény egy szinuszos áramú hálózatban ellenálláson?
| állandó,
| exponenciálisan változó,
| szinuszosan változó, egyszeres frekvenciájú,
| szinuszosan változó, kétszeres frekvenciájú.
| 2. Milyen értékeket vesz fel a teljesítmény-időfüggvény ellenálláson szinuszos feszültség mellett?
| csak nulla,
| pozitív és negatív értékeket tetszőlegesen,
| pozitív és negatív értékeket de csak szimmetrikusan,
| csak nemnegatív (pozitív és nulla),
| csak pozitív.
| 3. Milyen teljesítményértékkel jellemezzük egy ellenállás teljesítményállapotát?
| pillanatértékekkel,
| a vizsgált időtartamra képezett átlagértékkel,
| a periódusidőre képezett átlagértékkel.
| 4. Hogyan számítható egy szinuszos időfüggvény effektív értéke?
| U e f f = U ^ 2 ,
| U e f f = U ^ ⋅ 2 ,
| U e f f = U ^ 2 ,
| U e f f = U ^ 2 2 ,
| U e f f = U ^ 2 2 ,
| 5. Hogyan számítható egy általános periodikus u(t) függvény effektív értéke?
| U e f f = 1 T ⋅ ∫ T u (t) 2 d t ,
| U e f f = ∫ T u (t) 2 d t ,
| U e f f = 1 T ⋅ ∫ T u (t) 2 d t ,
| U e f f = 1 T ⋅ ∫ T u (t) 2 d t ,
| U e f f = T⋅ ∫ T u (t) 2 d t ,
| U e f f = 1 T ⋅ ∫ T u(t)d t .
| 6. Milyen teljesítmény jön létre ellenálláson?
| csak hatásos,
| csak meddő,
| csak látszólagos,
| hatásos és meddő,
| hatásos és látszólagos,
| meddő és látszólagos,
| mindhárom.
| 7. Milyen elemen jön létre hatásos teljesítmény?
| csak ellenálláson,
| csak tekercsen,
| csak kondenzátoron,
| ellenálláson és tekercsen,
| ellenálláson és kondenzátoron,
| tekercsen és kondenzátoron,
| mindhárom elemen.
| 8. Mi a hatásos teljesítmény jele?
| P,
| Q,
| S.
| 9. Mi a hatásos teljesítmény mértékegységének a jele?
| W,
| VAr,
| var,
| VA.
| 10. Mi jellemzi a hatásos teljesítményt?
| teljes egészében átalakul más teljesítménytípussá, elfogyasztásra kerül,
| teljesítménylengés generátor és fogyasztó között, nem kerül elfogyasztásra,
| részben elfogyasztásra kerül, részben teljesítménylengés generátor és fogyasztó között.