KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Egyenáramú hálózatok

5. lecke: Ellenállások soros és párhuzamos eredője

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| meghatározni több sorosan kapcsolt ellenállás eredőjét; meghatározni több párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredőjét.
| Tananyag
| Sorosan kapcsolt ellenállások eredője (5.1. ábra)
5.1. ábra
| Ohm törvénye alapján:
R 1 = U 1 I 1 , R 2 = U 2 I 2 , R 3 = U 3 I 3 , … R n = U n I n
(1)
| Kirchhoff csomóponti törvénye alapján:
I 1 = I 2 = I 3 =...= I n = I e
(2)
| Kirchhoff huroktörvénye alapján:
U 1 + U 2 + U 3 +...+ U n = U e
(3)
| Létezik egy fiktív, eredő ellenállás, amely az eredő feszültség és az eredő áram hányadosaként számítható. Erre is érvényes, hogy kétszer, háromszor, négyszer nagyobb feszültség hatására kétszer, háromszor, négyszer nagyobb áram alakul ki. Próbálkozzunk az R es értékét a részellenállások értékével kifejezni!
(3) alapján
R e s = U e I e = U 1 + U 2 + U 3 +...+ U n I e
(2) alapján
R e s = U 1 I 1 + U 2 I 2 + U 3 I 3 +...+ U n I n
(1) alapján
R e s = R 1 + R 2 + R 3 +...+ R n
R e s = ∑ i=1 n R i

|  | Tétel: Sorosan kapcsolt ellenállások eredője a részellenállások összegével egyenlő.

|  | Ez azt is jelenti, hogy a sorosan kapcsolt ellenállások eredője minden részellenállásnál nagyobb. Bármilyen kis ellenállást kapcsolunk sorosan egy tetszőlegesen nagy ellenállással, az eredő nagyobb lesz a nagy ellenállásnál is, mert a töltéshordozóknak nagyobb akadályt kell leküzdeniük, hogy keresztülhaladjanak. Ha n darab azonos értékű ellenállást kapcsolunk sorosan, az eredő a soros elemek ellenállásának n-szerese lesz.
| Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredője (5.2. ábra)
5.2. ábra
| Ohm törvénye alapján:
R 1 = U 1 I 1 , R 2 = U 2 I 2 , R 3 = U 3 I 3 , … R m = U m I m
(1)
| Kirchhoff csomóponti törvénye alapján:
I 1 + I 2 + I 3 +...+ I m = I e
(2)
| Kirchhoff huroktörvénye alapján:
U 1 = U 2 = U 3 =...= U m = U e
(3)
| Párhuzamosan kapcsolt ellenállások is úgy tekinthetők a külső szemlélő számára mint egyetlen ellenállás. A párhuzamos kapcsolás helyettesíthető egyetlen eredővel:
(2) alapján
R e p = U e I e = 1 I e U e = 1 I 1 + I 2 + I 3 +...+ I m U e
(3) alapján
R e p = 1 I 1 U 1 + I 2 U 2 + I 3 U 3 +...+ I m U m
(1) alapján
R e p = 1 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 +...+ 1 R m
| Röviden:
R e p = 1 ∑ j=1 m 1 R j
| A képlet egyszerűbb alakú, ha vezetésekkel írjuk fel:
G e = ∑ i=1 m G i
| (Az eredő vezetés minden részvezetésnél nagyobb, ezért:)

|  | Tétel: Párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredő vezetése a részvezetések összege.

|  | Ez azt is jelenti, hogy a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredő ellenállása minden részellenállásnál kisebb. Bármilyen nagy ellenállást kapcsolunk párhuzamosan egy tetszőlegesen kis ellenállással, az eredő kisebb lesz a kis ellenállásnál is, mert a töltéshordozók számára több áramút áll rendelkezésre, hogy keresztülhaladjanak. Ha n darab azonos értékű ellenállást kapcsolunk párhuzamosan, az eredő a párhuzamos elemek ellenállásának n-edrésze lesz.
| Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredője
| R e 12 = 1 1 R 1 + 1 R 2
| Közös nevezőre hozva:
| R e 12 = 1 R 2 + R 1 R 1 ⋅ R 2 = R 1 ⋅ R 2 R 1 + R 2
R e 12 = R 1 ⋅ R 2 R 1 + R 2 = R 2 × R 1
| A × jel neve: replusz. Elsősorban összetett kifejezések közötti párhuzamos eredő számításának jelölése esetén előnyös használata.

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Hogyan számítható a sorosan kapcsolt ellenállások eredője általában?
| a részellenállások összegeként,
| a részellenállások különbségeként,
| a részellenállások reciprokaként,
| a részellenállások reciprokának összege reciprokaként.
| 2. Hogyan számítható n darab azonos értékű sorosan kapcsolt ellenállás eredője?
| a részellenállások n-edrésze,
| a részellenállások n-szerese,
| a részellenállások n-edik hatványa.
| 3. Melyik igaz? A sorosan kapcsolt ellenállások eredője
| a legnagyobb részellenállásnál is nagyobb,
| a legkisebb részellenállásnál is kisebb,
| a legkisebb és a legnagyobb érték közé esik.
| 4. Hogyan számítható a párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredője általában?
| a részellenállások összegeként,
| a részellenállások különbségeként,
| a részellenállások reciprokaként,
| a részellenállások reciprokának összege reciprokaként.
| 5. Hogyan számítható két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredője?
| R 12 = R 1 + R 2 R 1 ⋅ R 2 ,
| R 12 = R 1 + R 2 R 2 ,
| R 12 = R 1 ⋅ R 2 R 1 + R 2 ,
| R 12 = R 1 ⋅ R 2 R 1 .
| 6. Hogyan számítható n darab azonos értékű párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredője?
| a részellenállások n-edrésze,
| a részellenállások n-szerese,
| a részellenállások n-edik hatványa.
| 7. Melyik igaz? A párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredője
| a legnagyobb részellenállásnál is nagyobb,
| a legkisebb részellenállásnál is kisebb,
| a legkisebb és a legnagyobb érték közé esik.
| 8. Az ábrán látható kapcsolás A és B pontjával csatlakozik egy összetett, külső hálózathoz. Milyen jellegű kapcsolódás fedezhető fel a kapcsolás belsejében bármely választott két ellenállás között?
| csak soros,
| csak párhuzamos,
| mindkettő,
| egyik sem.
| 9. Az ábrán látható kapcsolás A és B pontjával csatlakozik egy összetett, külső hálózathoz. Milyen jellegű kapcsolódás fedezhető fel a kapcsolás belsejében bármely választott két ellenállás között?
| csak soros,
| csak párhuzamos,
| mindkettő,
| egyik sem.
| 10. Az ábrán látható kapcsolás A és B pontjával csatlakozik egy összetett, külső hálózathoz. Milyen jellegű kapcsolódás fedezhető fel a kapcsolás belsejében bármely választott két ellenállás között?
| csak soros,
| csak párhuzamos,
| mindkettő,
| egyik sem.
| 11. Az ábrán látható kapcsolás A és B pontjával csatlakozik egy összetett, külső hálózathoz. Milyen jellegű kapcsolódás fedezhető fel a kapcsolás belsejében bármely választott két ellenállás között?
| csak soros,
| csak párhuzamos,
| mindkettő,
| egyik sem.
| 12. Az ábrán látható kapcsolás A és B pontjával csatlakozik egy összetett, külső hálózathoz. Milyen jellegű kapcsolódás fedezhető fel a kapcsolás belsejében bármely választott két ellenállás között?
| csak soros,
| csak párhuzamos,
| mindkettő,
| egyik sem.
| 13. Az ábrán látható kapcsolás A és B pontjával csatlakozik egy összetett, külső hálózathoz. Milyen jellegű kapcsolódás fedezhető fel a kapcsolás belsejében bármely választott két ellenállás között?
| csak soros,
| csak párhuzamos,
| mindkettő,
| egyik sem.
| 14. Az ábrán látható kapcsolás A és B pontjával csatlakozik egy összetett, külső hálózathoz. Milyen jellegű kapcsolódás fedezhető fel a kapcsolás belsejében bármely választott két ellenállás között?
| csak soros,
| csak párhuzamos,
| mindkettő,
| egyik sem.
| Gyakorolja a vegyesen sorosan és párhuzamosan kapcsolt ellenállásokból álló kapcsolás eredő ellenállásának számítását (3-9 ellenállásból tetszőlegesen kialakítva, fokozatosan nehezítve a feladatot)!