KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

22. lecke: Szinuszos feszültség- illetve áram-időfüggvény komplex leírása. Komplex időfüggvény és komplex amplitúdó

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| komplex számokkal megadni szinuszos feszültség- illetve áram időfüggvényt; felírni a komplex amplitúdó képletét; komplex amplitúdóval megadni Kirchoff törvényeit.
| Tananyag
| A szinuszos időfüggvények megadásához két adat, az amplitúdó és a kezdőfázis szükséges. Ellentétben az egyenáramú hálózatokkal, ahol elegendő egyetlen adat. A mennyiségenként két adat síkbeli vektoros megadással lehetséges. Erre a komplex számok matematikai eszközkészletét használjuk.
| Komplex számok
| Egy K ¯ komplex szám két részből, a valós vagy reális és a képzetes vagy imaginárius részből áll. A képzetes rész a képzetes egységgel meg van szorozva. A képzetes egység jele az elektrotechnikában: j.
j= −1
| A komplex számok négy alakját használjuk.
| Algebrai alak: K ¯ =a+j⋅b , ahol
| a valós vagy reális rész, b képzetes vagy imaginárius rész.
| Trigonometrikus alak: K ¯ =K⋅(cos⁡ϕ+j⋅sin⁡ϕ) , ahol
| K abszolút érték, K= a 2 + b 2 ϕ kezdőfázis, ϕ=a r c t g b a
| Exponenciális vagy Euler alak: K ¯ =K⋅ e j⋅ϕ .
| Az e j⋅ϕ kifejezés jelentése: egységnyi abszolút értékű, ϕ fázisszögű komplex szám.
| e j⋅ϕ =cos⁡ϕ+j⋅sin⁡ϕ
| cos⁡ϕ= e j⋅ϕ + e −j⋅ϕ 2
| sin⁡ϕ= e j⋅ϕ − e −j⋅ϕ 2⋅j
| Grafikus ábrázolás (22.1. ábra): egy komplex számot derékszögű koordinátarendszerben tudunk megadni. A fázisszöget a valós tengelytől óramutató járásával ellentétes irányban mérjük. Az egyenáramú hálózatokban három alaptörvényünk volt. Ohm törvényében szorzás vagy osztás, Kirchhoff törvényeiben összeadás és kivonás műveleteket kellett végeznünk. A törvények általánosítása után a komplex számok körében is a négy alapművelettel kell majd számításainkat végeznünk. Az összeadás és a kivonás elvégzésére az algebrai alak a legmegfelelőbb. De fogjuk komplex vektorok összegét és különbségét képezni grafikusan is, az ismert nyílfolyam vagy paralelogramma módszerrel.
22.1. ábra
| Műveletek komplex számokkal
| Legyen két komplex számunk:
| K 1 ¯ = a 1 +j⋅ b 1 = K 1 ⋅ e j⋅ ϕ 1 ,
| K 2 ¯ = a 2 +j⋅ b 2 = K 2 ⋅ e j⋅ ϕ 2 .
| Összeadás, kivonás:
| K 1 ¯ + K 2 ¯ =( a 1 + a 2 )+j⋅( b 1 + b 2 )
| Szorzás:
| K 1 ¯ ⋅ K 2 ¯ = K 1 ⋅ K 2 ⋅ e j⋅( ϕ 1 + ϕ 2 )
| Osztás:
| K 1 ¯ K 2 ¯ = K 1 K 2 ⋅ e j⋅( ϕ 1 − ϕ 2 )
| Konjugált:
| A K ¯ komplex szám konjugáltját kapjuk a képzetes rész előjelének váltásával, vagy a vektornak a valós tengelyre való tükrözésével. A konjugált jele a felső csillag.
| Ha K ¯ =a+j⋅b , akkor a konjugált
| K ¯ * =a−j⋅b .
| Jó tudni, hogy az imaginárius egységgel való szorzás 90 fokkal való forgatás pozitív irányban. A j-vel való osztás megfelel mínusz j-vel való szorzásnak, azaz forgatás 90 fokkal negatív irányban.
| Például:
| K 3 ¯ =a
| j⋅ K 3 ¯ =j⋅a
| K 3 ¯ j = a j = a j ⋅ j j = j⋅a j 2 = j⋅a −1 =−j⋅a
| Szinuszos időfüggvények komplex leírása
| Tekintsük a következő általános szinuszos időfüggvényt:
| u(t)= U ^ ⋅sin⁡(ω⋅t+ϕ) .
| A komplex időfüggvény
| Képezzünk komplex időfüggvényt az amplitúdó és a szinusz argumentumában levő teljes kifejezés, mint fázisszög felhasználásával.
| u(t) ¯ = U ^ ⋅ e j⋅(ω⋅t+ϕ)
| A komplex időfüggvényből visszatérhetünk a valós időfüggvényhez a trigonometrikus alakon keresztül.
| u(t) ¯ = U ^ ⋅ e j⋅(ω⋅t+ϕ) = U ^ ⋅(cos⁡(ω⋅t+ϕ)+j⋅sin⁡(ω⋅t+ϕ))= U ^ ⋅cos⁡(ω⋅t+ϕ)+j⋅ U ^ ⋅sin⁡(ω⋅t+ϕ)
u(t)=Im⁡ u(t) ¯
| A valós időfüggvény a komplex időfüggvény képzetes része. (A differenciálegyenletek a komplex időfüggvényekre is érvényesek.)
| A komplex amplitúdó
| A feszültség és áramidőfüggvény komplex leírásával célunk olyan tárgyalási módot találni, amely a számításainkat egyszerűsíti. Ehhez a komplex időfüggvény még nem megfelelő. Alakítsuk tovább kifejezésünket!
| u(t) ¯ = U ^ ⋅ e j⋅(ω⋅t+ϕ) = U ^ ⋅ e j⋅ϕ ⋅ e j⋅ω⋅t = U ^ ¯ ⋅ e j⋅ω⋅t
| Az U ^ ¯ = U ^ ⋅ e j⋅ϕ kifejezést komplex amplitúdónak nevezzük. Ez nem tartalmazza az időfüggő részt - ebből származik az amplitúdó elnevezés, de a valós amplitúdó mellett a fázisszöget is megtaláljuk benne. Ezek miatt a tulajdonságok miatt a szinuszos időfüggvényű hálózatok tárgyalása jelentősen leegyszerűsödik a komplex amplitúdó alkalmazásával.
| Kirchhoff törvényei érvényesek komplex amplitúdókkal is. A csomóponti törvény:
∑ j=1 n I ^ j ¯ =0
| A huroktörvény:
∑ i=1 m U ^ i ¯ =0

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Mi az imaginárius (képzetes) egység?
| j= 1 ,
| j= −e ,
| j =−1 ,
| −1= e j ,
| j= −1 ,
| j=ln⁡(−1) .
| 2. Melyik egy komplex szám algebrai alakja?
| K ¯ =K⋅ e j⋅ϕ ,
| K ¯ =a+j⋅b ,
| K ¯ =K⋅(cos⁡ϕ+j⋅sin⁡ϕ) .
| 3. Melyik egy komplex szám trigonometrikus alakja?
| K ¯ =K⋅ e j⋅ϕ ,
| K ¯ =a+j⋅b ,
| K ¯ =K⋅(cos⁡ϕ+j⋅sin⁡ϕ) .
| 4. Melyik egy komplex szám exponenciális alakja?
| K ¯ =K⋅ e j⋅ϕ ,
| K ¯ =a+j⋅b ,
| K ¯ =K⋅(cos⁡ϕ+j⋅sin⁡ϕ) .
| 5. Mi a hatása a j-vel való szorzásnak?
| az abszolút érték nő, a fázisszög változatlan,
| az abszolút érték csökken, a fázisszög változatlan,
| az abszolút érték változatlan, a fázisszög csökken 90°-kal,
| az abszolút érték változatlan, a fázisszög nő 90°-kal,
| az abszolút érték és a fázisszög is csökken,
| az abszolút érték és a fázisszög is nő.
| 6. Mi a hatása a j-vel való osztásnak?
| az abszolút érték nő, a fázisszög változatlan,
| az abszolút érték csökken, a fázisszög változatlan,
| az abszolút érték változatlan, a fázisszög csökken 90°-kal,
| az abszolút érték változatlan, a fázisszög nő 90°-kal,
| az abszolút érték és a fázisszög is csökken,
| az abszolút érték és a fázisszög is nő.
| 7. A K ¯ =K⋅ e j⋅ϕ =a+j⋅b komplex számnak a valós (reális) része:
| K ¯ ,
| ϕ,
| K,
| K⋅cos⁡ϕ ,
| K⋅sin⁡ϕ ,
| a,
| b,
| j⋅b ,
| a 2 + b 2 .
| 8. A K ¯ =K⋅ e j⋅ϕ =a+j⋅b komplex számnak a képzetes (imaginárius) része:
| K ¯ ,
| ϕ,
| K,
| K⋅cos⁡ϕ ,
| K⋅sin⁡ϕ ,
| a,
| b,
| j⋅b ,
| a 2 + b 2 .
| 9. A K ¯ =K⋅ e j⋅ϕ =a+j⋅b komplex számnak az abszolút értéke:
| K ¯ ,
| ϕ,
| K,
| K⋅cos⁡ϕ ,
| K⋅sin⁡ϕ ,
| a,
| b,
| j⋅b ,
| a 2 + b 2 .
| 10. Hogyan állítjuk vissza az eredeti időfüggvényt a komplex időfüggvényből?
| u(t) ¯ =Im⁡u(t) ,
| u(t) ¯ =Re⁡u(t) ,
| u(t)=Im⁡ u(t) ¯ ,
| u(t) ¯ = U ^ ¯ ,
| u(t)= U ^ ¯ .
| 11. Ha u(t) ¯ = U ^ ¯ ⋅ e j⋅ω⋅t , akkor a komplex amplitúdó:
| U ^ ,
| U ^ ¯ ,
| U ^ ¯ ⋅ e j⋅ω⋅t ,
| U ^ ¯ ⋅ e j⋅ϕ ,
| U ^ ⋅ e j⋅ω⋅t ,
| U ^ ⋅ e j⋅ϕ .
| 12. Érvényes-e a csomóponti törvény a komplex amplitúdók körében?
| igen,
| nem.
| 13. Érvényes-e a huroktörvény a komplex amplitúdók körében?
| igen,
| nem.