KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

23. lecke: A komplex impedancia fogalma és elemei

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| saját szavaival meghatározni a komplex impedancia fogalmát; felírni az ellenállás, a kondenzátor és a tekercs impedanciájának képletét; meghatározni sorosan és párhuzamosan kapcsolt elemek eredő impedanciáját.
| Tananyag
| Impedancia
| Az egyenáramú hálózatokban valamely passzív elem feszültségének és áramának hányadosát, az áramakadályozó-képességet ellenállásnak nevezzük. A szinuszos áramú hálózatokban új fogalmat vezetünk be. Valamely passzív elem komplex feszültség- és áram-amplitúdójának hányadosát impedanciának nevezzük.
Z ¯ = U ^ ¯ I ^ ¯
| Z ¯ = U ^ ¯ I ^ ¯ = U ^ ⋅ e j⋅ ϕ U I ^ ⋅ e j⋅ ϕ I = U ^ I ^ e j⋅( ϕ U − ϕ I )
| Az impedancia abszolút értéke a feszültség- és az áram-amplitúdó hányadosa ohmban. Fázisszöge pedig megadja a feszültség és az áram-időfüggvény egymáshoz képesti eltoltságát, fáziseltolását. Az impedancia fázisszöge természetesen nem változik, ha az idő-koordinátarendszerünk kezdőpontját balra vagy jobbra eltoljuk, hiszen ugyan mindkét fázisszög változik, de a különbségük ugyanakkora marad. (Megjegyzés: a pillanatértékek hányadosa csak ellenállások estén használható. Reaktanciák esetén teljesen értelmezhetetlen, mert egy negyed periódus alatt a hányados befutja a teljes 0, ∞ tartományt.)
| Ellenállás impedanciája
| Kapcsoljuk az ellenállásunkra a következő szinuszos feszültséget!
| u(t)= U ^ ⋅sin⁡ω⋅t
| A feszültség komplex időfüggvénye:
| u(t) ¯ = U ^ ⋅ e j⋅ω⋅t
| Az ellenállás feszültségének komplex amplitúdója tiszta valós:
| U ^ ¯ = U ^
| Az ellenállás árama:
| i(t)= u(t) R
| i(t) ¯ = u(t) ¯ R = U ^ ⋅ e j⋅ω⋅t R = U ^ R ⋅ e j⋅ω⋅t = I ^ ⋅ e j⋅ω⋅t , ebből
| I ^ ¯ = U ^ R , az ellenállás áramának komplex amplitúdója is tiszta valós.
| Ebből az impedancia:
| Z R ¯ = U ^ ¯ I ^ ¯ = U ^ U ^ R =R
| Az ellenállás impedanciája tiszta valós, megegyezik az egyenáramú ellenállással. A feszültség és az áram között nincs fázistolás, ennek megfelelően az ellenállás impedanciájának fázisszöge nulla.
Z R ¯ =R
| Kondenzátor impedanciája
| Válasszuk a kondenzátor feszültségének a következő időfüggvényt.
| u(t)= U ^ ⋅sin⁡ω⋅t
| A feszültség komplex időfüggvénye:
| u(t) ¯ = U ^ ⋅ e j⋅ω⋅t
| A feszültség komplex amplitúdója ismét tiszta valós:
| U ^ ¯ = U ^
| Az áram időfüggvénye:
| i(t)=C⋅ d u(t) d t
| i(t) ¯ =C⋅ d u(t) ¯ d t =C⋅ d( U ^ ⋅ e j⋅ω⋅t ) d t =C⋅ U ^ ⋅ d e j⋅ω⋅t d t =j⋅ω⋅C⋅ U ^ ⋅ e j⋅ω⋅t = I ^ ⋅ e j⋅ω⋅t .
| Ebből az áram komplex amplitúdója:
| I ^ ¯ =j⋅ω⋅C⋅ U ^ .
| A kondenzátor impedanciája:
| Z C ¯ = U ^ ¯ I ^ ¯ = U ^ j⋅ω⋅C⋅ U ^ = 1 j⋅ω⋅C = 1 j⋅ω⋅C ⋅ j j = j j 2 ⋅ω⋅C = j −ω⋅C =−j⋅ 1 ω⋅C .
| A kondenzátor impedanciája negatív, tiszta képzetes.
Z C ¯ =−j⋅ 1 ω⋅C
| Tekercs impedanciája
| Válasszuk a tekercs áramának a következő időfüggvényt.
| i(t)= I ^ ⋅sin⁡ω⋅t
| A feszültség komplex időfüggvénye:
| i(t) ¯ = I ^ ⋅ e j⋅ω⋅t
| A feszültség komplex amplitúdója ismét tiszta valós:
| I ^ ¯ = I ^
| Az feszültség időfüggvénye:
| u(t)=L⋅ d i(t) d t
| u(t) ¯ =L⋅ d i(t) ¯ d t =L⋅ d( I ^ ⋅ e j⋅ω⋅t ) d t =L⋅ I ^ ⋅ d e j⋅ω⋅t d t =j⋅ω⋅L⋅ I ^ ⋅ e j⋅ω⋅t = U ^ ¯ ⋅ e j⋅ω⋅t .
| Ebből a feszültség komplex amplitúdója:
| U ^ ¯ =j⋅ω⋅L⋅ I ^ .
| A tekercs impedanciája:
| Z L ¯ = U ^ ¯ I ^ ¯ = j⋅ω⋅L⋅ I ^ I ^ =j⋅ω⋅L .
| A tekercs impedanciája pozitív, tiszta képzetes.
Z L ¯ =j⋅ω⋅L
| A tekercs és a kondenzátor impedanciája abszolút értékének, az úgynevezett látszólagos ellenállásnak a jelölésére használjuk:
X L =ω⋅L, X C = 1 ω⋅C
Megjegyzés: a tekercs és a kondenzátor impedanciájának fázisszöge 90° illetve -90°, frekvenciától függetlenül!! | A három passzív elem közül az ellenállás frekvenciától független impedanciájú. A tekercs és a kondenzátor látszólagos ellenállása frekvenciafüggő. A tekercs látszólagos ellenállása a frekvenciával egyenesen arányos, egyenáramon nulla és a frekvencia növekedésével tart a végtelenhez. A kondenzátor látszólagos ellenállása a frekvenciával fordítottan arányos. Egyenáramon végtelen és a frekvencia növekedésével tart a nullához. A passzív elemek látszólagos ellenállásának frekvenciafüggését a 23.1. ábra mutatja.
23.1. ábra
| A frekvenciafüggés az időfüggvények mellett a másik fontos vizsgálati, szemléleti mód melynek elsősorban jelfeldolgozási, hírközlési berendezések, eszközök minősítésénél van nagy szerepe.
| Sorosan kapcsolt elemek eredő impedanciája
| Az egyenáramú hálózatoknál megismert levezetés alapján általánosíthatunk.

|  | Tétel: Sorosan kapcsolt passzív elemek eredője az egyes elemek impedanciájának összege.

Z e s ¯ = ∑ i=1 n Z i ¯
| Párhuzamosan kapcsolt elemek eredő impedanciája
| Szintén az egyenáramú esethez hasonló a megoldás.

|  | Tétel: Párhuzamosan kapcsolt passzív elemek eredője az egyes elemek impedanciája reciprokából képzett összeg reciproka.

Z e p ¯ = ∑ j=1 m 1 1 Z j ¯
| Az impedancia-vektorokat ábrázolhatjuk komplex vektorként. Az erre szolgáló koordinátarendszerben megadunk egy hosszúság-ellenállás egyenértéket, amely nemcsak a tengelyek mentén, hanem ferde irányban is megszabja az egy-egy vektornak vagy szakaszhossznak megfelelő ellenállást. Ebben a koordinátarendszerben más mértékegységű mennyiség ábrázolása értelmetlen! A megismert három passzív elem impedancia-vektorát ábrázolja példaképpen a 23.2. ábra.
23.2. ábra

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Hogyan alakul egy ellenállásnak szinuszos áramú hálózatban mutatott látszólagos ellenállása a frekvencia növekedésének hatására?
| csökken,
| nő,
| nem változik,
| mindig nulla,
| mindig végtelen.
| 2. Hogyan alakul egy kondenzátornak szinuszos áramú hálózatban mutatott látszólagos ellenállása a frekvencia növekedésének hatására?
| csökken,
| nő,
| nem változik,
| mindig nulla,
| mindig végtelen.
| 3. Hogyan alakul egy tekercsnek szinuszos áramú hálózatban mutatott látszólagos ellenállása a frekvencia növekedésének hatására?
| csökken,
| nő,
| nem változik,
| mindig nulla,
| mindig végtelen.
| 4. Hogyan alakul egy ellenállás szinuszos áramú hálózatban értelmezett impedanciája fázisszöge a frekvencia csökkenésének hatására?
| csökken,
| nő,
| nem változik,
| mindig 0°,
| mindig 90°,
| mindig -90°.
| 5. Hogyan alakul egy kondenzátor szinuszos áramú hálózatban értelmezett impedanciája fázisszöge a frekvencia csökkenésének hatására?
| csökken,
| nő,
| nem változik,
| mindig 0°,
| mindig 90°,
| mindig -90°.
| 6. Hogyan alakul egy tekercs szinuszos áramú hálózatban értelmezett impedanciája fázisszöge a frekvencia csökkenésének hatására?
| csökken,
| nő,
| nem változik,
| mindig 0°,
| mindig 90°,
| mindig -90°.
| 7. Hogyan számítható tetszőleges impedanciák soros kapcsolásának eredője?
| A részimpedanciák vektoriális összegeként,
| A részimpedanciák reciprokának vektoriális összege reciprokaként,
| Z e s ¯ = ∑ i=1 n Z i ¯ ,
| Z e p ¯ = ∑ j=1 m 1 1 Z j ¯ .
| 8. Hogyan számítható tetszőleges impedanciák párhuzamos kapcsolásának eredője?
| A részimpedanciák vektoriális összegeként,
| A részimpedanciák reciprokának vektoriális összege reciprokaként,
| Z e s ¯ = ∑ i=1 n Z i ¯ ,
| Z e p ¯ = ∑ j=1 m 1 1 Z j ¯ .