KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

21. lecke: Ellenállás, tekercs és kondenzátor viselkedése váltakozóáramú körben. Frekvenciafüggés

|  | Tanulási célok
| A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:
| meghatározni ellenállás viselkedését szinuszos feszültség hatására; meghatározni tekercs viselkedését szinuszos feszültség hatására; meghatározni kondenzátor viselkedését szinuszos feszültség hatására.
| Tananyag
| Ellenállás viselkedése szinuszos feszültség hatására
| Kapcsoljunk egy ellenállásra szinuszos feszültséggenerátort (21.1 ábra)!
21.1. ábra
| Legyen a generátor feszültségének időfüggvénye
| u g (t)= U ^ g ⋅sin⁡ω⋅t .
| Az ellenállás árama kiszámítható:
| R= u R (t) i R (t) = u g (t) i(t) ,
| i(t)= u g (t) R = U ^ g ⋅sin⁡ω⋅t R = U ^ g R ⋅sin⁡ω⋅t .
| Az ellenállás árama U ^ g R amplitúdójú, a feszültségével megegyező körfrekvenciájú és kezdőfázisú időfüggvény lesz. A két időfüggvény közös koordinátarendszerben a 21.2. ábrán szemlélhető.
21.2. ábra

|  | Tétel: Ellenálláson a feszültség és az áram fázisban van.

|  | Kondenzátor viselkedése szinuszos feszültség hatására
| Kapcsoljunk egy kondenzátorra szinuszos feszültséggenerátort.
21.3. ábra
| Legyen a generátor feszültségének időfüggvénye
| u g (t)= U ^ g ⋅sin⁡ω⋅t .
| A kondenzátor árama kiszámítható:
| i(t)=C⋅ d u(t) d t általában, esetünkben pedig
| i(t)=C⋅ d U ^ g ⋅sin⁡ω⋅t d t =C⋅ U ^ g ⋅ d sin⁡ω⋅t d t = U ^ g ⋅ω⋅C⋅cos⁡ω⋅t= U ^ g ⋅ω⋅C⋅sin⁡(ω⋅t+ 90 ∘ )
| I ^ = U ^ g ⋅ω⋅C
| A kondenzátor árama I ^ amplitúdójú, a feszültségével azonos körfrekvenciájú, de ahhoz képest 90°-kal, egy negyed periódussal siető szinuszos időfüggvényű.
21.4. ábra
| A kondenzátor feszültség- és áramidőfüggvénye közös koordinátarendszerben a 21.4. ábrán szemlélhető.

|  | Tétel: Kondenzátoron az áram 90°-ot siet a feszültséghez képest.

|  | Tekercs viselkedése szinuszos áram hatására
| Kapcsoljunk egy tekercsre szinuszos áramgenerátort (21.5. ábra).
21.5. ábra
| Legyen a generátor áramának időfüggvénye:
| i g (t)= I ^ g ⋅sin⁡ω⋅t
| A tekercs feszültsége:
| u(t)=L⋅ d i(t) d t általában, esetünkben
| u(t)=L⋅ d I ^ g ⋅sin⁡ω⋅t d t =L⋅ I ^ g ⋅ d sin⁡ω⋅t d t = I ^ g ⋅ω⋅L⋅cos⁡ω⋅t= I ^ g ⋅ω⋅L⋅sin⁡( ω⋅t+ 90 ∘ ) .
| U ^ = I ^ g ⋅ω⋅L
| A tekercs feszültsége U ^ amplitúdójú, a feszültségével azonos körfrekvenciájú, az áramhoz képest 90°-kal, azaz egy negyed periódussal siető, szinuszos időfüggvényű. A tekercs feszültség- és áram-időfüggvénye a 21.6. ábrán szemlélhető.
21.6. ábra
| Az előző időfüggvény-párokkal való összehasonlíthatóság érdekében az ábrázolást negyed periódussal korábban kezdjük, hogy a feszültség-időfüggvény szinuszos legyen.

|  | Tétel: A tekercs feszültsége 90°-ot siet az áramához képest.

|  | Következtetések: az ellenállásokból, tekercsekből és kondenzátorokból álló általános hálózatra is érvényes úgy, ahogy az elemekre, hogy a hálózatot szinuszos generátorra kapcsolva a hálózat minden feszültsége és árama a generátoréval azonos körfrekvenciájú. A feszültségeket és áramokat két jellemző, amplitúdójuk és kezdőfázisuk különbözteti meg.
| A kondenzátor és a tekercs esetén a feszültség és áram pillanatértékek hányadosa nem hordoz információt, mint az ellenállásnál. Egy negyed periódus alatt a hányados nulla és végtelen között minden értéket felvesz. A feszültség és az áram közötti kapcsolat az amplitúdók hányadosában fogalmazható meg. Kondenzátor és tekercs esetén a két amplitúdó közötti kapcsolat frekvenciafüggő, azt a körfrekvencia és a kapacitás illetve az induktivitás szorzata teremti meg.

|  | Ellenőrző kérdések
| 1. Hogyan alakul egy ellenálláson szinuszos áramú hálózatban a feszültség és az áram időfüggvénye?
| az áram siet 90°-ot a feszültséghez képest,
| az áram és a feszültség fázisban van,
| az áram késik 90°-ot a feszültséghez képest,
| az áram és a feszültség két különböző frekvenciájú, szinuszos időfüggvény szerint változik,
| az áram és a feszültség nem szinuszos időfüggvény szerint változik,
| a feszültség szinuszos időfüggvényét az áram nem szinuszos időfüggvénnyel követi.
| 2. Hogyan alakul egy kondenzátoron szinuszos áramú hálózatban a feszültség és az áram időfüggvénye?
| az áram siet 90°-ot a feszültséghez képest,
| az áram és a feszültség fázisban van,
| az áram késik 90°-ot a feszültséghez képest,
| az áram és a feszültség két különböző frekvenciájú, szinuszos időfüggvény szerint változik,
| az áram és a feszültség nem szinuszos időfüggvény szerint változik,
| a feszültség szinuszos időfüggvényét az áram nem szinuszos időfüggvénnyel követi.
| 3. Hogyan alakul egy tekercsen szinuszos áramú hálózatban a feszültség és az áram időfüggvénye?
| az áram siet 90°-ot a feszültséghez képest,
| az áram és a feszültség fázisban van,
| az áram késik 90°-ot a feszültséghez képest,
| az áram és a feszültség két különböző frekvenciájú, szinuszos időfüggvény szerint változik,
| az áram és a feszültség nem szinuszos időfüggvény szerint változik,
| a feszültség szinuszos időfüggvényét az áram nem szinuszos időfüggvénnyel követi.
| 4. Melyik ábra felel meg egy ellenálláson létrejövő szinuszos feszültség és áram időfüggvényének?
| 5. Melyik ábra felel meg egy kondenzátoron létrejövő szinuszos feszültség és áram időfüggvényének?
| 6. Melyik ábra felel meg egy tekercsen létrejövő szinuszos feszültség és áram időfüggvényének?
| 7. Mekkora egy szinuszos feszültséggenerátorra kapcsolt ellenálláson kialakuló szinuszos áram amplitúdója?
| az ellenállás értékétől független,
| a generátor feszültségétől független,
| az ellenállás értékétől és a generátor feszültségétől is független,
| U ^ g ⋅R ,
| U ^ g R ,
| R U ^ g .
| 8. Mekkora egy szinuszos feszültséggenerátorra kapcsolt kondenzátoron kialakuló szinuszos áram amplitúdója?
| az kapacitás értékétől független,
| a generátor feszültségétől független,
| az kapacitás értékétől, a körfrekvencia értékétől és a generátor feszültségétől is független,
| U ^ g ⋅R ,
| ω⋅C U ^ g ,
| U ^ g ⋅ω⋅C ,
| U ^ g ω⋅C ,
| U ^ g ⋅ω⋅L .
| 9. Mekkora egy szinuszos feszültséggenerátorra kapcsolt tekercsen kialakuló szinuszos áram amplitúdója?
| az induktivitás értékétől független,
| a generátor feszültségétől független,
| a körfrekvencia értékétől független,
| U ^ g ⋅ω⋅L ,
| U ^ g ⋅ω⋅C ,
| U ^ g ω⋅L ,
| ω⋅L U ^ g .